Übung » HAM-Nat Physik

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Geometrische Optik

 

1. Einleitung

2. Reflexion

3. Reelles und virtuelles Bild

4. Brechung

5. Optische Linsen

6. Kontrollfragen

 

1. Einleitung

Die geometrische Optik ist das einfachste Modell der Optik. Sie kann die Alltagsphänomene sehr gut und einfach beschreiben, stößt aber bei Spezialfällen und Grenzfällen bald an ihre Grenzen.

Abb. 1: Einteilung der Geometrischen Optik

In der geometrischen Optik werden einige (vereinfachende) Annahmen gemacht: Das Licht besteht aus (nicht genauer definierten) Lichtstrahlen, die sich geradlinig ausbreiten. Jeder Strahlengang ist umkehrbar, es ist egal ob man die Lichtstrahlen in Ausbreitungsrichtung oder gegen die Ausbreitungsrichtung betrachtet. Lichtstrahlen beeinflussen einander nicht, sie können sich durchkreuzen und beliebig nahe aneinander liegen ohne irgendwelche Auswirkungen (dies ist nicht verträglich mit Interferenzerscheinungen!). Licht wird von Materie gebremst bzw. absorbiert.

2. Reflexion

Trifft Licht auf eine Grenzfläche, so kann es reflektiert werden. Es verhält sich dabei so, wie ein Ball den man gegen eine Wand wirft: Er springt unter genau dem gleichen Winkel von der Wand weg, wie man ihn gegen die Wand geworfen hat. Zeichnet man das Einfallslot orthogonal auf die Fläche ein, sowie den Einfallswinkel α und den Ausfallswinkel β, so gilt α = β.

Abb. 2: Einfallswinkel und Ausfallswinkel

Ein Hohlspiegel ist nach innen gekrümmt. Das Einfallslot zeigt an jeder Stelle des Spiegels in eine andere Richtung. Je nachdem wo der Lichtstrahl auftrifft, wird er unterschiedlich reflektiert. Hat der Querschnitt des Spiegels die Form einer Parabel (Parabolspiegel), kreuzen sich alle parallel zur optischen Achse einfallenden reflektierten Strahlen in genau einem Punkt, dem Brennpunkt F. Liegt der Gegenstand außerhalb der Brennweite, so entsteht immer ein reelles umgekehrtes Bild B. Parabolspiegel werden bei sehr großen Teleskopen verwendet, da sie weniger Verzerrungen haben als große und damit dicke Linsen.

Abb. 3: Strahlengang einer Lupe

3. Reelles und virtuelles Bild

Ein reelles Bild lässt sich mit einem weißen Blatt Papier auffangen, wie z.B. die weiße Wand bei einem Projektor. Mit einem virtuellen Bild geht das nicht. Beispiele dafür sind der Blick in den Spiegel oder durch eine Lupe - diese Bilder können nicht einfach mit einem weißen Blatt Papier aufgefangen werden, dafür wäre weitere Technik (z.B. die Linse im Auge) notwendig.

In der vorigen Grafik ist eine Skizze eines Hohlspiegels zu sehen, mit Gegenstand G, einigen eingezeichneten Strahlengängen und das Bild B. Der Gegenstand G wird durch den Pfeil dargestellt. Viele Leute fragen sich ob der Gegenstand leuchten muss, weil von ihm ja Lichtstrahlen weggehen. Es kann sein, dass er leuchtet, muss aber nicht sein. Es genügt, dass er mit dem Umgebungslicht beleuchtet wird.

Eine kleine Auswahl an sogenannten "ausgezeichneten Strahlen" wurde eingezeichnet und die Auswahl ist, wie der Name schon sagt, kein Zufall! Parallel einfallende Strahlen (im Bild der Oberste) müssen nach der Reflexion durch den Brennpunkt F verlaufen. Strahlen, die vor der Reflexion durch den Brennpunkt F verlaufen (im Bild der Mittlere), müssen nach der Reflexion parallel verlaufen. Im Bild oben ist dies "zufälligerweise" für die Spitze des Pfeils eingezeichnet. Dort wo sich die beiden Strahlen treffen, ensteht das reelle Bild B. Auch alle Lichtstrahlen die von der Spitze des Pfeils vollkommen irgendwie in den Parabolspiegel fallen werden sich nachher in diesem selben Punkt, dem Bild, kreuzen - man kann sie aber erst konstruieren, wenn man schon den Bildpunkt kennt. Das ist bei den ausgezeichneten Strahlen eben anders. Daher sind sie "ausgezeichnet" und werden zur Konstruktion des Bildes verwendet. Auch für alle anderen Stellen des Gegenstands gilt natürlich ganz das Gleiche. Erst die Summe aller ergibt das ganze Bild des Gegenstands. In diesem Beispiel wird auch die Namensgebung "geometrische Optik" klar, denn man kann alle Strahlengänge ganz einfach mit einem Geodreieck zeichnen.

4. Brechung

Trifft Licht auf eine Grenzfläche, so kann es auch gebrochen werden. Das Fermatsche Prinzip besagt: Licht nimmt immer den Weg mit der kürzesten Zeit. In einem optisch dichteren Medium (höherer Brechungsindex n) breitet sich Licht langsamer aus als im optisch dünneren Medium, daher wird es beim Eintritt in das Optisch dichtere Medium zum Lot gebrochen. Man kann das über die folgende verwandte Frage erklären: ein Rettungsschwimmer befindet sich am Punkt P0 und möchte einen Ertrinkenden bei P2 retten. An Land (Brechnungsindex n entspricht hier einer Verlangsamung der Geschwindigkeit, gleich wie für das Licht) kann er schnell laufen, im Wasser ("Verlangsamung" n‘) ist er deutlich langsamer. Wie wird er seinen Weg wählen um möglichst schnell beim Ertrinkenden zu sein?

Abb. 4: Brechung an der Grenzfläche zweier Medien

Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Optimale_Rettung.png

Wenn man diese Extremwertaufgabe löst, erhält man das Snelliussche Brechungsgesetz: v2sin(α) = v1sin(β) bzw. n1sin(α) = n2sin(β). In er Formel ist α der Einfallswinkel, β der Ausfallswinkel, v1 ist die Geschwindigkeit des Lichtes (des Rettungsschwimmers) im dünneren Medium (an Land), v2 die Geschwindigkeit im dichteren Medium. n1 ist der Brechungsindex des dünneren Mediums (des Landes) und n2 der des dichteren. Der Brechungsindex n ist definiert als das Verhältnis der Geschwindigkeit im Vakuum (ca. 300.000 km/s) zur Geschwindigkeit im jeweiligen Medium: n = vVac/vMed. Damit hat das Vakuum den kleinesten Brechungsindex von 1. Gewöhnliche Stoffe wie Wasser, Glas oder Plastik haben einen Brechungsindex zwischen 1 und 2.

Insbesondere gilt für die Brechung: Tritt der Lichtstrahl vom dünneren ins dichtere Medium ein, so erfolgt die Brechung zum Lot. Tritt der Lichtstrahl hingegen vom dichteren ins dünnere Medium aus, so erfolgt die Brechung vom Lot. Bei der Brechung vom Lot könnte es mathematisch passieren, dass der Ausfallswinkel über 90° wäre. In diesem Fall verliert das Brechungsgesetz seine Bedeutung und es kommt stattdessen zur Totalreflexion. Das Brechungsgesetz gibt aber keine Auskunft darüber, wie viel Licht im Medium absorbiert wird und warum blaues Licht etwas stärker gebrochen wird als rotes. Letzteres kommt daher, dass Licht mit einer höheren Frequenz stärker gebrochen wird als Licht mit niedriger Frequenz – diese Tatsache kann mittels der geometrischen Optik nicht erklärt werden. 

5. Optische Linsen

Eine Linse ist ein durchsichtiges optisches Bauelement mit zwei lichtbrechenden Flächen. Diese Flächen können plan (keine Krümmung), konvex (nach außen gekrümmt) oder konkav (nach innen gekrümmt) sein:

Abb. 5: Unterschiedliche Formen von Linsen

Die Krümmung von Linsen ist stets so gewählt, dass jede Linse einen (theoretischen) Brennpunkt F besitzt.
Ein sehr beliebter, wenn auch sexistischer, Merksatz hierfür lautet: "Ist der Bauch konkav, war das Mädchen brav. Ist der Bauch konvex, hatte das Mädchen Sex."

Sammellinsen

Bikonvexe und plan-konvexe Linsen wirken als Sammellinsen. Parallel einfallende Lichtstrahlen werden in einem Punkt, dem Fokus oder Brennpunkt F, gesammelt. Der Abstand zwischen Linsenmitte und dem Brennpunkt ist die Brennweite f. Die Umkehrung gilt auch: Gibt man eine Lichtquelle in den Brennpunkt, so wird die Linse das Licht so brechen, dass die Lichtstrahlen danach parallel weiter laufen. Dieses Prinzip macht man sich bei Scheinwerfern und Taschenlampen zu nutze.

Abb. 6: Sammellinse und Brennpunkt

In der folgenden Grafik ist das Konstruktionsschema für ein reelles Bild mittels einer Sammellinse zu sehen. Jeder Punkt des Gegenstands sendet Strahlen nach allen Richtungen aus. Ein Strahlenbüschel trifft auf die Linse und wird bei reellen Bildern in einem Bildpunkt wieder zusammengeführt. Dies betrifft alle Punkte des Gegenstands und damit baut sich das gesamte Bild auf. Befindet sich der Gegenstand außerhalb der Brennweite, ergibt sich ein reelles umgekehrtes Bild. Natürlich sendet nicht nur die Spitze des Objekts gerade mal drei Strahlen aus, so wie in der Grafik, sondern es sind wieder nur die für die Konstruktion wichtigen ausgezeichneten Strahlen eingezeichnet.

Abb. 7: Sammellinse und reelles Bild

Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reelles_Bild.png

Die wichtigste Formel in Bezug auf Linsen ist , die sogenannte Linsengleichung. Hier bezeichnet g die Gegenstandsweite (im Bild S1), b die Bildweite und f die Brennweite.

Zerstreuungslinsen

Plan-konkave und bikonkave Linsen wirken als Zerstreuungslinsen. Parallel einfallende Strahlen laufen nach der Linse auseinander. Verlängert man allerdings die Strahlengänge (theoretisch) durch die Linse durch, so kommt man zu einem (theoretischen) Brennpunkt. Für einen Betrachter der hinter der Linse steht, sieht es so aus, als ob alle Lichtstrahlen aus diesem Brennpunkt kommen würden.

Abb. 8: Strahlengang einer Zerstreuungslinse

Durch geschicktes Hintereinanderreihen von Linsen kann man parallel einfallende Lichtstrahlen wieder parallel ausfallen lassen, allerdings beliebig zusammengepresst oder auseinandergezogen und man kann das Bild wieder in die Ausgangsrichtung zurück drehen. Dies bildet die Grundlage für Fernrohre, Teleskope, Mikroskope etc.

Kontrollfragen:

1

Das Brechungsgesetz lautet:

Das Brechungsgesetz ist definiert über die Geschwindigkeiten oder den Brechungsindex:  v2sin(α) = v1sin(β) bzw. n1sin(α) = n2sin(β). Der Einfallswinkel ist α und β der Ausfallswinkel. Im dünneren Medium ist die Geschwindigkeit v1 und der Brechungsindex n1. Im dichteren Medium ist vdie Geschwindigkeit und nder Brechungsindex.

2

Bei der Brechung von Licht der Wellenlänge λ beim Übergang von einem optisch dünneren zu einem optisch dichteren Medium gilt:

Vom dünneren ins dichtere Medium eerfolgt die Lichtbrechung zum Lot. α = β gilt nur, wenn das Licht reflektiert wird. Da in einem optisch dichteren Medium der Brechungsindex  n höher ist, breitet sich nach dem Fermatschen Prinzip das Licht langsamer aus.

3

Welche Aussage trifft NICHT zu? Beim Übergang monochromatischen Lichts von einem optisch dichteren zu einem optisch dünneren Medium:

Da bei diesem Übergang ein Ausfallswinkel über 90° möglich ist, kann es zu einer Totalreflexion kommen und dann verliert das Brechungsgesetz seine Bedeutung.

4

Welche Aussagen bezüglich Linsen sind richtig?

1) Fällt paralleles Licht in eine Sammellinse, so werden alle Lichtstrahlen dermaßen gebrochen, dass sie sich alle im Brennpunkt kreuzen.
2) Befindet sich ein Objekt näher an einer Sammellinse als deren Brennpunkt entfernt ist, so entsteht kein reelles Bild.
3) Befindet sich eine Lichtquelle näher an einer Sammellinse als deren Brennpunkt entfernt ist, so verlassen die Lichtstrahlen die Linse parallel.
4) Das reelle Bild einer Sammellinse ist auf den Kopf gestellt.
5) Je stärker die Krümmung einer Streulinse ist, desto weiter ist ihr Brennpunkt entfernt.
 

Wie weit der Brennpunkt von der Linse entfernt ist, hängt von der Stärke der Krümmung der Linse (beider Oberflächen) ab und von der optischen Dichte der Linse. Je stärker die Oberflächen gekrümmt sind und je größer der Brechungs­index der Linse ist, desto näher liegt der Brennpunkt an der Linse.

5

Welche SI-Einheit hat der Brechungsindex?

Der Brechungsindex n wird berechnet mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit im Medium. Die Einheiten kürzen sich somit weg und n ist dimensionslos.

6

Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist ca. 300 000 km/s. Messungen haben ergeben, dass sich das Licht in einem speziellen Kristall aber nur mit 240 000 km/s ausbreitet. Welchen Brechungsindex hat der Kristall?  

Der Brechungsindex ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit im Medium, somit 300000 km*s-1 / 240000 km*s-1 und ergibt somit 1,25.

7

Licht fällt von außen auf eine gerade Fensterscheibe. Was kann NICHT passieren?

Wenn z.B. Sonnenlicht auf eine Fensterscheibe fällt kann es auch zur Reflexion kommen, da die Lichtstrahlen aus allen Richtungen kommen kann und somit alle möglichen Einfallswinkel existieren. Die chromatische Aberration tritt auf, da Licht verschiedener Wellenlängen  beim durchtritt optischer Linsen am Rand der Linse unterschiedlich stark gebrochen wird (z.B. Farbauftrennung beim Prisma). Dies ist bei einer gerade Fensterscheibe, bei welcher eine zweifache Brechung (Eintritt, Austritt) jeweils an einer geraden Fläche stattfindet nicht der Fall.